洛谷:P1967 货车运输

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原题地址:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1902

题目简述

给定一个n个点m条边的无向带权图，每次询问2点u,v的联通情况，不联通则输出-1。
如果联通，不妨将一条联通u,v的路径上的最小权值记为w，则该次询问输出所有可能的w中的最大值。
共有q次询问。

思路

对于任意两点u&v，我们需要找出能使得w最大的一条最优路径。
因此需要生成一个新图，使得原图中联通任意两点之间只存在一条能使得w最大的最优路径。
因此这是一棵树……
又因为要使w最大，应尽量选择边权大的边作为路径…… 然后就突然发觉：这不就是Kruskal算法的过程吗？只不过最小生成树优先选择边权小的边，此时优先选择边权大的。
因此要求的新图就是一颗最大生成树……Kruskal可破。
然后就是求任意两点LCA了。此处使用倍增，也方便维护某节点向树根爬的时候路上的最小权值。
（用树链剖分+线段树维护也行…………）
更具体的看代码注释。

代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 1000000005
struct Node {
    int u,v,w;//两点u&v以及边权
    bool operator < (const Node &b) const {
        return w<b.w;
    }
};
vector <Node> e[50005];//e[u]储存节点u相连的边集。
priority_queue <Node> Q;//边权越大的优先级越高
int fa[50005];//Kruskal的御用并查集，fa[u]代表u点所处集合
bool vis[50005];//是否已经被dfs过程访问过
int fas[50005][21],minw[50005][21],deep[50005];
//fas[u][j]代表u点在所处树中的第2^j级父亲编号
//minw[u][j]代表u点在所处树中至第2^j级父亲的路径上最小边权
//deep[u]代表u点在所处树中深度
int find(int x)//查找x所在集合编号
{
    if (x==fa[x]) return x;
    else return fa[x]=find(fa[x]);//路径压缩
}
void uni(int a,int b) //合并a,b所在集合
{
    fa[find(a)]=find(b);
}

void add(int u,int v,int w) //添加新图边
{
    Node one;
    one.u=u;
    one.v=v;
    one.w=w;
    e[u].push_back(one);
    uni(u,v);
}
void dfs(int u,int f,int k)//dfs，u代表当前点，f为当前点父亲，k为深度
{
    vis[u]=1;
    deep[u]=k;
    for (int i=0;i<e[u].size();i++) {
        if (e[u][i].v==f) continue;
        else {
            dfs(e[u][i].v,u,k+1);
            fas[e[u][i].v][0]=u;
            minw[e[u][i].v][0]=e[u][i].w;
        }
    }
}
int n,m,q;
void Kruskal()
{
    int linked=0;
    while(!Q.empty()&&linked<n-1) {//边数m可能少于n-1，因此需要注意Q是否为空
        Node now=Q.top();
        Q.pop();
        int a=now.u,b=now.v;
        if (find(a)==find(b)) continue;
        else {
            linked++;
            add(a,b,now.w);
            add(b,a,now.w);
        }
    }
}
int lca(int x,int y)//求x，y的lca
{
    if (find(x)!=find(y)) return -1;//不在一个树里
    int ans=inf;
    if (deep[y] >deep[x]) swap(x,y);//较深的标记为x
    for(int i=20;i>=0;i--)//令x跳到与y相同高度
        if(deep[fas[x][i]]>=deep[y]){
            ans=min(ans,minw[x][i]);
            x=fas[x][i];
        }
    if (x==y) return ans;
    for(int i=20; i>=0; i--)//让x,y一起跳到lca节点下方
        if(fas[x][i]!=fas[y][i]){
            ans=min(ans,min(minw[x][i],minw[y][i]));
            x=fas[x][i]; 
            y=fas[y][i];
        }
    ans=min(ans,min(minw[x][0],minw[y][0]));//统计最小边权
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=i;//并查集预处理，各个点都处于自己所代表的集合
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        Node one;
        one.u=x;
        one.v=y;
        one.w=z;
        Q.push(one);//加入Kruskal御用队列Q
    }
    Kruskal();//最大生成树
    for (int i=1;i<=n;i++) {//倍增数组初始化&dfs
        if (!vis[i]) {
            dfs(i,0,1);
            fas[i][0]=i;
            minw[i][0]=inf;
        }
    }
    for (int i=1;i<=20;i++) {//倍增预处理
        for (int j=1;j<=n;j++) {
            fas[j][i]=fas[fas[j][i-1]][i-1];
            minw[j][i]=min(minw[j][i-1],minw[fas[j][i-1]][i-1]);
        }
    }
    scanf("%d",&q);
    for (int i=1;i<=q;i++) {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",lca(a,b));
    }
    return 0;
}